У чому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла

Сучасний математичний аналіз неможливо собі уявити без застосування поняття інтеграла і методів інтегрального числення. Зокрема, визначений інтеграл міцно закріпився не тільки в математиці, але й у фізиці, механіці і багатьох інших наукових дисциплінах. Саме поняття інтегрування протилежно диференціювання і означає об`єднання частин, наприклад, який-небудь фігури в ціле.

Історія визначеного інтеграла

Методи інтегрування сягають корінням в старовину. Вони були відомі ще в Давньому Єгипті. Є факти, що свідчать про те, що єгиптянам в 1800 році до нашої ери була відома формула обсягу усіченої піраміди. Вона і дозволила їм створити такі шедеври архітектури, як єгипетські піраміди.

Спочатку інтеграли розраховувалися методом вичерпування Евдокса. Вже за часів Архімеда за допомогою інтегрального числення удосконаленим методом Евдокса розраховували площі параболи і кола. Сучасне ж поняття визначеного інтеграла і сам метод ввів Жан Батист Жозеф Фур`є приблизно в 1820 році.

Поняття визначеного інтеграла і його геометричний зміст

Без використання математичних знаків і формул визначений інтеграл можна позначити, як суму частин, що складають геометричну фігуру, утворену кривої конкретного графіка функції. Коли мова йде про певний інтеграл функції f (x), необхідно відразу уявити цю саму функцію в системі координат.

Виглядати така функція буде у вигляді кривої лінії тягнеться уздовж осі абсцис, тобто осі іксів, на певній відстані від осі ординат, тобто осі ігреків. Коли ви підраховуєте інтеграл?, Ви обмежуєте спочатку отриману криву по осі x. Тобто визначаєте, з якого і по який момент осі ікс ви будете розглядати даний графік функції f (x).

Візуально ви проводите вертикальні лінії, що з`єднують криву графіка і вісь ікс в обраних точках. Таким чином, під кривою утворюється геометрична фігура, що нагадує трапецію. Її обмежують проведені вами лінії зліва і справа, знизу вона обрамляється віссю іксів, а зверху - самої кривої графіка. Отримана фігура носить найменування криволінійної трапеції.

Для того щоб підрахувати площу S такої складної фігури, використовують певний інтеграл. Саме визначений інтеграл функції f (x) на обраному відрізку по осі іксів дозволяє без праці обчислити площу криволінійної трапеції під кривою графіка. У цьому і полягає його геометричний зміст.