ЯК знайти умовні екстремуми функції

Знаходження умовного екстремуму функції відноситься до випадку функції двох або більше змінних. Тоді умовність, про яку йде мова, зводиться до завдання деяких фіксованих параметрів функції.

Спрощення параметричної функції

Умовний екстремум функції, як правило, відноситься до випадку функції двох змінних. Така функція визначається залежністю між деякої змінної z і двома незалежними змінними x і y типу z = f (x, y). Таким чином, дана функція являє собою деяку поверхню, якщо уявити її графічно.

Параметричної залежністю, що задається при визначенні умовного екстремуму, є деяка крива, яка визначається співвідношенням, що зв`язує дві незалежні змінні. Параметричне вираз g (x, y) = 0 в деяких випадках можна переписати в іншому вигляді, висловивши змінну y через x. Тоді можна отримати рівняння y = y (x). Підставивши дане рівняння в залежність z = f (x, y), можна отримати рівняння z = f (x, y (x)), яке стає в даному випадку вже залежністю тільки від змінної «ікс».

Далі можна знаходити екстремум так, як це робиться в ситуації з однією змінною. Дана процедура зводиться, в першу чергу, до визначення похідної даної функції z = f (x, y (x)). Після цього необхідно прирівняти похідну від функції до нуля і висловити змінну x, визначивши тим самим точку екстремуму. Підставивши дане значення змінної у вираз самої функції, можна знайти максимальне або мінімальне значення при заданому умови.

Загальний випадок знаходження екстремуму

Якщо параметричне рівняння g (x, y) = 0 можна ніяк дозволити щодо однієї із змінних, то умовний екстремум знаходять, використовуючи функцію Лагранжа. Ця функція являє собою суму двох інших функцій, одна з яких є споконвічною досліджуваної функцією, а інша - твором деякої постійної l і параметричної функції, тобто L = f (x, y) + lg (x, y). В даному випадку необхідною умовою можливості існування екстремуму у функції z = f (x, y) за умови дотримання тотожності g (x, y) = 0 є рівність нулю всіх приватних похідних функції Лагранжа: dL / dx = 0, dL / dy = 0 , dL / dl = 0.

Кожне з рівнянь після проведення операції диференціювання дасть деяку залежність трьох змінних x, y і l. Маючи три рівняння з трьома змінними, можна знайти кожну з них в точці екстремуму. Після чого необхідно підставити значення «іксів» і «ігрековой» змінної в рівняння функції, умовний екстремум якої визначається, і знайти максимум або мінімум даної функції z = f (x, y) при заданому умови g (x, y) = 0. Даний метод визначення умовного екстремуму називається методом Лагранжа.