ЯК вирішувати інтеграл із заміною

Рішення інтеграла заміною змінних, як правило, полягає в перевизначенні тієї змінної, по якій виробляється інтегрування, з метою отримання інтеграла табличного вигляду.

Вам знадобиться

Підручник з алгебри і початків аналізу або з вищої математики, аркуш паперу, кулькова ручка.

Інструкція

Відкрийте підручник з алгебри чи підручник з вищої математики на чолі про інтеграли і знайдіть таблицю з рішеннями основних інтегралів. Вся суть методу заміни зводиться до того, що вам необхідно привести вирішуване вами інтеграл до одного з табличних інтегралів.

Напишіть на аркуші паперу приклад деякого інтеграла, яке необхідно вирішити заміною змінних. Як правило, вираз такого інтеграла містить в собі деяку функцію, змінної якої є інша більш просте вираз, що містить в собі змінну інтегрування. Наприклад, ви маєте інтеграл c подинтегральних виразом sin (5x + 3), тоді таким простим виразом буде многочлен 5x + 3. Цей вираз і необхідно замінити на деяку нову змінну, наприклад t. Таким чином, потрібно здійснити ототожнення 5x + 3 = t. У такому випадку подинтегральная функція буде залежати вже від нової змінної.

Зверніть увагу, що після того, як ви провели заміну, інтегрування все ще відбувається за колишньою змінної (у нашому прикладі це змінна x). Для того щоб вирішити інтеграл, необхідно перейти до нової змінної і в диференціалі інтеграла.

Продіфференціруйте праву і ліву частину рівняння, що зв`язує стару і нову змінну. Тоді з одного боку ви отримаєте диференціал нової змінної, а з іншого - твір похідною вирази, яке було замінено, на диференціал старої змінної. З даного диференціального рівняння знайдіть, чому дорівнює диференціал старої змінної. Замініть даний диференціал в інтегралі на новий. Ви отримаєте, що утворений заміною змінної інтеграл залежить тепер тільки від нової змінної, а підінтегральний вираз при цьому виявляється набагато простіше, ніж воно було в первісному вигляді.

Проведіть також заміну змінної в межах інтегрування даного інтеграла, якщо він є визначеним. Для того щоб це зробити, підставте значення кордонів інтегрування в вираз, що визначає нову змінну через стару. Ви отримаєте значення кордонів інтегрування для нової змінної.

Не забувайте, що заміна змінних виявляється корисною і можливої далеко не завжди. У вищеописаному прикладі вираз, замінене на нову змінну, було лінійним щодо старої змінної. Це призвело до того, що похідна від цього виразу виявилося рівної деякої константі. Якщо вираз, який вам необхідно замінити на нову змінну, не є досить простим або хоча б лінійним, то заміна змінних, швидше за все, не допоможе у вирішенні інтеграла.