ЯК знайти меншу висоту трикутника

У трикутнику залежності між сторонами і кутами жорстко пов`язують і внутрішні лінії фігури - висоти, медіани і бісектриси. Знання цих співвідношень істотно спрощує вирішення завдань.

Інструкція

З трьох висот трикутника найменшою буде та, яка опущена на найбільшу зі сторін фігури. Щоб переконатися в цьому, висловіть всі три висоти трикутника через розміри його сторін і порівняйте. Нехай з трьох сторін a, b, c довільного остроугольного трикутника сторона а - найбільша, сторона с - найменша. Позначимо ha висоту, опущену на сторону а, hb висоту, проведену до сторони b, hc - висоту на сторону с. Висота ділить будь трикутник на два прямокутних трикутника, в яких ця висота завжди буде одним з катетів.

Висота ha, проведена до найбільшої стороні а, може бути визначена по теоремі Піфагора: hа? = B? - А ?? або hа? = с? - А ??. Де а? і а? - Відрізки, на які сторона а розділена висотою hа. Також по теоремі Піфагора висловіть дві інші висоти трикутника через його сторони:
hb? = a? -b ?? або hb? = c? -b ?? - hc? = a? -c ?? або hc? = b? -c ??.

З порівняння формул, що визначають висоти трикутника, очевидно, що співвідношення між зменшуваним і від`ємником дає найменшу різницю у виразах hа? = B? - А ?? і hа? = с? -а ??, оскільки віднімаються а? і а? - Відрізки найбільшої сторони трикутника.

Визначити меншу висоту трикутника можна також через синус відомого кута трикутника. Якщо за умовою задано найбільший з кутів, то цей кут лежить проти найбільшої сторони, і саме з нього проведена найменша висота. Щоб уникнути громіздких обчислень, краще висловіть шукану висоту через тригонометричні функції двох інших кутів трикутника, оскільки відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута - величина для даного трикутника постійна. Отже, найменша висота трикутника ha = b * SinB або ha = c * SinC, де В -кут між найбільшою стороною а і стороною b, а С - кут між найбільшою стороною а і стороною з трикутника.