ЯК довести, що паралелограм - прямокутник

Прямокутник являє собою окремий випадок паралелограма. Будь прямокутник є паралелограмом, але не кожен паралелограм - прямокутник. Довести, що паралелограм є прямокутником, можна, використовуючи ознаки рівності трикутників.

Інструкція

Згадайте визначення паралелограма. Це чотирикутник, протилежні сторони якого рівні і паралельні. Крім того, сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180 °. Цим же властивістю володіє і прямокутник, тільки він повинен відповідати ще одній умові. Кути, прилеглі до однієї сторони, у нього рівні і складають кожен 90 °. Тобто в будь-якому випадку вам потрібно буде довести саме те, що у заданої фігури не лише сторони паралельні і рівні, але всі кути є прямими.

Накресліть паралелограм і зробіть додаткові побудови

Накресліть паралелограм АВСD. Розділіть сторону АВ навпіл і поставте крапку М. З`єднайте її з вершинами кутів С і D. Вам потрібно довести, що кути МАС і МВD рівні. Сума їх, згідно з визначенням паралелограма, становить 180 °. Для початку ж вам треба довести рівність трикутників МАС і МВD, тобто що відрізки МС і MD рівні між собою.

Зробіть ще одне побудову. Розділіть сторону СD навпіл і поставте крапку N. Розгляньте уважно, з яких геометричних фігур складається тепер вихідний паралелограм. Він складений з двох паралелограмів AMND і MBCN. Його можна представити і складається з трикутників DMB, МАС і МВD. Те, що AMND і MBCN є однаковими паралелепіпедами, можна довести, виходячи з властивостей паралелепіпеда. Відрізки АМ і МВ рівні, відрізки NC і ND рівні теж і являють вони собою половинки протилежних сторін паралелепіпеда, які за визначенням однакові. Відповідно, лінія MN дорівнюватиме сторонам AD і ВС і паралельна ім. А значить, у цих однакових паралелепіпедів діагоналі будуть рівні, тобто відрізок MD дорівнює відрізку MC.

Порівняйте трикутники МАС і МВD. Згадайте ознаки рівності трикутників. Їх три, і в даному випадку найзручніше доводити рівність за трьома сторонами. Сторони МА і МB однакові, оскільки точка М знаходиться якраз на середині відрізка AB. Сторони АD і BC рівні за визначенням паралелограма. Рівність сторін MD та MC ви довели в попередньому кроці. Тобто трикутники рівні, а це означає, що рівні і всі їх елементи, тобто кут МАD дорівнює куту МВС. Але ці кути прилягають до однієї сторони, тобто сума їх становить 180 °. Розділивши це число навпіл, ви отримаєте розмір кожного кута - 90 °. Тобто всі кути даного паралелограма є прямими, а це означає, що він являє собою прямокутник.