Що таке раціональні та ірраціональні числа

Все простіше, ніж здається!

Від абстрактності математичних понять часом настільки віє холодом і відстороненістю, що мимоволі виникає думка: «Навіщо це все?». Але, незважаючи на перше враження, всі теореми, арифметичні операції, функції і т.п. - Не більше, ніж бажання задовольнити нагальні потреби. Особливо чітко це можна помітити на прикладі появи різних множин.

Все почалося з появи натуральних чисел. І, хоча, навряд чи зараз хтось зможе відповісти, як точно це було, але швидше за все, ноги у цариці наук ростуть звідкись з печери. Тут, аналізуючи кількість шкур, каменів і одноплемінників, людина відкрила безліч «чисел для рахунку». І цього йому було достатньо. До якогось моменту, звичайно ж.

Далі треба було шкури і камені ділити і віднімати. Так виникла потреба в арифметичних операціях, а разом з ними і раціональних числах, які можна визначити як дріб типу m / n, де, наприклад, m - кількість шкур, n - кількість одноплемінників.

Здавалося б, уже відкритого математичного апарату цілком достатньо, щоб радіти життям. Але незабаром виявилося, що бувають випадки, коли результат не те, що не ціле число, але навіть не дріб! І, дійсно, квадратний корінь з двох ніяк інакше не виразити за допомогою чисельника і знаменника. Або, наприклад, всім відоме число Пі, відкрите давньогрецьким вченим Архімедом, так само не є раціональним. І таких відкриттів з часом стало настільки багато, що всі неподдающиеся «раціоналізації» числа об`єднали і назвали ірраціональними.

Властивості

Розглянуті раніше безлічі належать набору фундаментальних понять математики. Це означає, що їх не вийде визначити через більш прості математичні об`єкти. Але це можна зробити за допомогою категорій (з грец. «Висловлювання») або постулатів. В даному випадку найкраще було позначити властивості даних множин.

o Ірраціональні числа визначають дедекіндових перетину в безлічі раціональних чисел, у яких в нижньому класі немає найбільшого, а у верхньому немає найменшого числа.

o Кожне трансцендентне число є ірраціональним.

o Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним, або трансцендентним.

o Безліч ірраціональних чисел всюди щільно на числової прямої: між будь-якими двома числами є ірраціональне число.

o Безліч ірраціональних чисел незліченну, є безліччю другої категорії Бера.

o Це безліч впорядковане, т. е. для кожних двох різних раціональних чисел a і b можна вказати, яке з них менше іншого.
o Між кожними двома різними раціональними числами існує ще принаймні одне раціональне число, а отже, і нескінченна безліч раціональних чисел.

o Арифметичні дії (додавання, віднімання, множення і ділення) над якими двома раціональними числами завжди можливі і дають в результаті певне раціональне ж число. Винятком є розподіл на нуль, яке неможливо.

o Кожне раціональне число може бути представлено у вигляді десяткового дробу (кінцевої або нескінченної періодичної).