Як довести теорему Вієта

Теорема Вієта

Суть даного прийому полягає в тому, щоб знаходити коріння квадратних рівнянь без допомоги дискримінанту. Для рівняння виду x2 + bx + c = 0, де є два дійсних різних кореня, вірно два твердження.

Перше твердження свідчить, що сума коренів даного рівняння прирівнюється значенням коефіцієнта при змінної x (в даному випадку це b), але з протилежним знаком. Наочно це виглядає так: x1 + x2 =? B.

Друге твердження вже пов`язано не з сумою, а з твором цих же двох коренів. Прирівнюється ж цей твір до вільного коефіцієнту, тобто c. Або, x1 * x2 = c. Обидва цих прикладу вирішуються в системі.

Теорема Вієта значно спрощує рішення, але має одне обмеження. Квадратне рівняння, корені якого можна знайти, використовуючи цей прийом, має бути наведеним. У наведеному рівнянні коефіцієнта a, той, що стоїть перед x2, дорівнює одиниці. Будь-яке рівняння можна привести до подібного виду, розділивши вираз перший коефіцієнт, але не завжди дана операція раціональна.

Доказ теореми

Для початку слід згадати, як за традицією прийнято шукати коріння квадратного рівняння. Перший і другий корені знаходяться через дискримінант, а саме: x1 = (-b-vD) / 2, x2 = (-b + vD) / 2. Взагалі ділиться на 2a, але, як уже говорилося, теорему можна застосовувати тільки коли a = 1.

З теореми Вієта відомо, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту зі знаком мінус. Це означає, що x1 + x2 = (-b-vD) / 2 + (-b + vD) / 2 =? 2b / 2 =? B.

Те ж справедливо і для твори невідомих коренів: x1 * x2 = (-b-vD) / 2 * (-b + vD) / 2 = (b2-D) / 4. У свою чергу D = b2-4c (знову ж при a = 1). Виходить, що підсумок такий: x1 * x2 = (b2- b2) / 4 + c = c.

З наведеного простого докази можна зробити тільки один висновок: теорема Вієта повністю підтверджена.

Друге формулювання і доказ

Теорема Вієта має й інше тлумачення. Якщо говорити точніше, то чи не тлумачення, а формулювання. Справа в тому, що якщо дотримуються ті ж умови, що і в першому випадку: є два різних дійсних корені, то теорему можна записати іншою формулою.

Ця рівність виглядає наступним чином: x2 + bx + c = (x - x1) (x - x2). Якщо функція P (x) перетинається в двох точка x1 і x2, то її можна записати у вигляді P (x) = (x - x1) (x - x2) * R (x). У випадку, коли P має другу ступінь, а саме так і виглядає первісне вираження, то R є простим числом, а саме 1. Це твердження вірне з тієї причини, що в іншому випадку рівність виконуватися не буде. Коефіцієнт x2 при розкритті дужок не повинен бути більше одиниці, а вираз повинен залишатися квадратним.