Квадратні рівняння і як їх вирішувати

Квадратне рівняння - особливий вид алгебраїчного рівняння, назва якого пов`язана з наявністю в ньому квадратного члена. Незважаючи на гадану складність, такі рівняння мають чіткий алгоритм рішення.

Рівняння, що представляє собою квадратний тричлен, звичайно називається квадратним рівнянням. З точки зору алгебри воно описується формулою a * x ^ 2 + b * x + c = 0. У даній формулі х - це невідоме, яке потрібно знайти (його називають вільної змінної) - a, b і c - числові коефіцієнти. У відношенні компонентів зазначеної формули існує ряд обмежень: так, коефіцієнт а не повинен бути рівний 0.

Рішення рівняння: поняття дискримінанта

Значення невідомого х, при якому квадратне рівняння перетвориться на правильне рівність, називають коренем такого рівняння. Для того щоб вирішити квадратне рівняння, необхідно спочатку знайти значення спеціального коефіцієнта - дискримінанту, який покаже кількість коренів у розглянутого рівності. Дискримінант обчислюється за формулою D = b ^ 2-4ac. При цьому результат обчислення може виявитися позитивним, негативним або рівним нулю.

При цьому слід мати на увазі, що поняття квадратного рівняння вимагає, щоб лише коефіцієнт а був суворо відрізняється від 0. Отже, коефіцієнт b може бути рівним 0, а саме рівняння в цьому випадку приклад вид a * x ^ 2 + c = 0. У такій ситуації слід використовувати значення коефіцієнта, рівне 0, і в формулах розрахунку дискримінанту і коренів. Так, дискриминант в цьому випадку буде розраховуватися як D = -4ac.

Рішення рівняння при позитивному дискримінант

У випадку, якщо дискримінант квадратного рівняння виявився позитивним, з цього можна зробити висновок, що це рівність має два корені. Зазначені коріння можна обчислити за такою формулою: x = (- b ± v (b ^ 2-4ac)) / 2a = (- b ± vD) / 2a. Таким чином, для розрахунку значення коренів квадратного рівняння при позитивному значенні дискримінанту використовуються відомі значення коефіцієнтів, наявних в рівнянні. Завдяки використанню суми і різниці у формулі розрахунку коренів результатом обчислень будуть два значення, що звертають розглядається рівність у вірне.

Рішення рівняння при нульовому і негативному дискримінант

У випадку, якщо дискримінант квадратного рівняння виявився рівним 0, можна зробити висновок про те, що вказане рівняння має один корінь. Строго кажучи, в цій ситуації коренів у рівняння і раніше два, однак внаслідок нульового дискримінанту вони будуть рівні між собою. У цьому випадку x = -b / 2a. Якщо ж у процесі обчислень значення дискримінанта виявляється негативним, слід зробити висновок про те, що аналізованих квадратне рівняння не має коренів, тобто таких значень x, при яких воно звертається у вірне рівність.